简介这份运筹学期末练习试卷面向高校运筹学课程学习者与备考学生用于系统检验建模与求解能力。试卷涵盖线性规划建模、整数规划建模、名词解释、网络分析与计算题等模块具体涉及A、B产品生产计划建模、汽车厂三种车型的整数规划、织布机生产安排、定性与定量分析辨析、Pert图与CPM关键路径计算、决策树方法及表上作业法求解运输问题并附有对偶问题与互补松弛性的综合题解答。资源包共1个doc文件约1.09MB内容完整、题型典型适合作为期末复习与自测材料。已有571人学习下载读者可借此熟悉运筹学常见题型的建模思路与解题技巧对照答案查漏补缺为应对考试和实际决策问题打下基础。1. 运筹学到底在算什么从一张期末练习卷说起你有没有过这种经历手里一堆资源时间、人手、预算全都有上限却要在几个方案里挑一个最划算的。小到周末怎么安排家务大到工厂怎么排产本质都是同一道题——在限制条件下让某个目标尽可能好。运筹学就是专门研究这类问题的学科它把“怎么选最划算”翻译成数学语言再交给模型去算。这份运筹学期末练习试卷恰好把这门课最核心的几类题型摆在一起建模、名词解释、网络图、计算求解。搞懂它你就搞懂了运筹学在现实里到底怎么用。很多人第一次听到“运筹学”三个字会觉得玄乎像是某种高深算法。其实它更像一套“决策的记账本”把每种选择消耗多少资源、带来多少收益一笔一笔写清楚然后让数学替你找出那本账最漂亮的那一页。试卷里的题目不要求你写代码也不要求你跑软件只要求你把现实问题“翻译”成变量、约束和目标函数。这个翻译过程才是运筹学真正值钱的地方。2. 线性规划把“资源有限”写成不等式2.1 一句话定义与生活类比线性规划是运筹学里最基础、也最常用的一类模型。通俗地说它处理的是这样一件事你有一组决策变量比如生产多少件产品每个变量都消耗若干种资源资源总量有上限而你想让总利润最大或总成本最小。所有关系都是“线性”的——消耗按比例增加利润也按比例增加没有突然翻倍或打折的弯弯绕。打个比方你开一家小作坊做两种点心。每种点心都要用面粉和工时面粉就那么多工时也就那么多你想决定各做多少盒。线性规划就是帮你把“面粉够不够、工时够不够”写成一组不等式再把“卖多少钱”写成一个求和式然后找那个让求和式最大的组合。试卷第一道建模题就是这个套路A、B 两种产品都要经过前道和后道两道化学反应前道总共 200 小时后道总共 240 小时。每生产 1 个单位 B 还会顺带产出 2 个单位副产品 CC 最多能卖 10 个单位卖不掉的要花 1 元销毁。题目只要求建模不要求求解但建模本身已经把线性规划的核心骨架露出来了。2.2 建模的三件套变量、约束、目标线性规划建模永远绕不开三样东西试卷里的解法也是按这个顺序来的。第一是决策变量。你要决定什么就把什么设成变量。第一题设 A、B 的产量为 x1、x2销毁的 C 为 x3。注意 x3 不是“生产量”而是“销毁量”这个区分很关键因为销毁是要花钱的。第二是约束条件。资源上限写成不等式前道 2x1 3x2 ≤ 200后道 3x1 4x2 ≤ 240。副产品 C 的产销平衡也要写成等式或不等式B 产出 2x2 个 C卖出去的最多 10 个剩下的 x3 销毁所以 2x2 销售量 x3且销售量 ≤ 10。这些式子把现实里的“够不够、卖不卖得掉”全部量化了。第三是目标函数。利润 5x1 10x2 3×销售量 − 1×x3。把销售量用 2x2 − x3 替换掉目标函数就只剩 x1、x2、x3 三个变量。到这里一个完整的线性规划模型就立起来了。提示建模题不要求求解但变量设错后面全错。尤其是“销毁量”这种反向变量初学者最容易漏。2.3 第二道建模题整数规划为什么多了一层试卷第二题是汽车厂生产微型、中级、高级三种轿车钢材和人工有总量上限利润各不同。表面看还是线性规划但多了一个条件每种车要达到经济规模才能生产微型车至少 1500 辆中级车至少 1200 辆高级车至少 1000 辆。产量不能是 1499.5 辆必须是整数而且要么不生产要么至少达到门槛。这就是整数规划。它和线性规划的关系好比“可以切半块蛋糕”和“只能整块拿”的区别。线性规划允许变量取小数整数规划要求变量取整数。多出来的这个整数约束让求解难度上一个台阶因为可行解不再是一个连续的区域而是一堆离散的点。试卷只要求建模所以解法里设了 x1、x2、x3 三个产量变量再用 0-1 变量或者大 M 法来处理“要么为零、要么至少门槛”的逻辑。这部分不展开求解但建模思路已经点明了整数规划的核心在普通线性约束之外再加一层“离散选择”的约束。2.4 第三道建模题自制还是外购的取舍第三题更贴近真实生产28 台织布机分 D 型和 R 型要满足四种纺织品的需求可以自己生产也可以直接购买。自己生产有单位可变成本购买有单位购买价售价固定所以每种产品“自己做”和“买来卖”的单位利润不一样。题目解法里直接给出了两组利润数自己生产纺织品 1 到 4 的单位利润分别是 0.33、0.31、0.61、0.73购买对应的单位利润是 0.19、0.16、0.5、0.54。这道题的建模关键是把“机器小时”作为资源约束把“自制量 购买量 需求量”作为平衡约束目标函数则是两组利润分别乘以自制量和购买量再求和。它和第一题的区别在于决策变量分成了两类生产决策和采购决策。现实里很多供应链问题都是这个结构——自己能做就做做不过来就买模型帮你算哪种组合最划算。3. 对偶与敏感性同一个问题的另一面3.1 对偶问题不是“另一个问题”是同一枚硬币的反面试卷名词解释里提到“线性规划的对偶问题”答案说“不唯一可以给出一个具体线性规划和其标准型进行阐述”。这句话听起来绕其实意思很简单每一个线性规划问题都对应着另一个线性规划问题叫做它的对偶问题。原问题求利润最大对偶问题就求资源的最小“影子价格”原问题的约束是资源上限对偶问题的变量就是这些资源的估价。打个比方你有一间铺面原问题是“怎么安排经营让利润最大”对偶问题就是“这间铺面如果租出去最低该收多少租金才不亏”。两个问题的最优值是相等的这就是对偶定理。试卷后面的综合题直接用了这个性质已知原问题最优解利用互补松弛性反推对偶问题最优解。互补松弛性说的是如果某个资源在原问题里没用完那它对偶变量的值就是零如果对偶变量大于零说明这个资源是紧俏的一点都不能浪费。3.2 影子价格资源到底值多少钱对偶变量在运筹学里有个更通俗的名字——影子价格。它不是市场上真实的价格而是“多给你一单位这种资源你的最优利润能增加多少”。试卷第一题里前道工序 200 小时、后道工序 240 小时如果多给 1 小时前道时间利润能涨多少那个数就是前道时间的影子价格。理解影子价格你就理解了对偶问题为什么有用。企业做决策时不光要知道“现在怎么安排最好”还要知道“哪个资源最卡脖子、值不值得花钱去买”。影子价格高的资源就是瓶颈资源多投入它能换来更多利润影子价格为零的资源说明还有富余再买也没用。这个信息比单纯一个最优产量方案更有战略价值。3.3 互补松弛性怎么从原问题推对偶解试卷综合题给了一个线性规划要求先写对偶问题再求对偶最优解。解法里没有重新解一遍对偶问题而是把原问题的最优解代入利用互补松弛性直接推出对偶变量。具体逻辑是原问题某个约束是严格不等式资源没用完对应的对偶变量必为零原问题某个变量大于零对应的对偶约束必取等号。这样一步步推下来对偶最优解就出来了。这个方法在考试里很实用因为重新解一个对偶问题费时费力而互补松弛性相当于给你一条捷径。但前提是你得先把原问题的最优解求对否则后面全盘皆输。这也是运筹学里常见的“血泪经验”对偶技巧再漂亮原问题算错一个数整道题就翻车。4. 网络图与关键路径项目进度的“黑匣子”4.1 网络图是什么把先后关系画出来试卷第三部分是一道作图填空题给了一张活动表A 无紧前活动5 天B 无紧前活动1 天C 紧前是 B2 天D 紧前是 A 和 C4 天E 紧前是 A6 天F 紧前是 D 和 E3 天。要求画网络图、找关键路线、算完工时间、算活动 B 和 E 的可推迟天数。网络图就是把“谁必须在谁之前完成”画成一张有向图。节点代表事件箭线代表活动箭线的方向就是先后顺序。这张图的价值在于它把项目里所有活动的依赖关系一次性摊开让你一眼看出哪些活动串在一起、哪些可以并行。试卷里 A 和 B 可以同时开始C 要等 B 做完D 要等 A 和 C 都做完E 只要等 A 做完F 要等 D 和 E 都做完。画出来之后整个项目的骨架就清楚了。4.2 关键路线决定工期的那个“最长链条”关键路线是从起点到终点耗时最长的那条路径。试卷答案给的是 A-E-F时间 5 6 3 14 天。为什么最长路径反而决定工期因为项目里所有活动都得做完最长的那条链卡在那里其他短链早做完了也得等它。好比一群人约饭最慢的那个人到了才能开席关键路线就是那个最慢的人。关键路线上的活动叫关键活动它们的总时差为零一天都不能拖。试卷填空题里问“活动 E 可以推迟几天而不延误工期”答案就是 0因为 E 在关键路线上。活动 B 可以推迟 4 天因为 B 不在关键路线上它后面接 C 和 DD 又要等 A 和 CB 稍微拖一拖不影响最终 14 天的工期。这个“可以推迟几天”就是活动的总时差是网络分析里最实用的一个数。4.3 总时差项目管理的“后悔药”总时差的计算逻辑是一个活动最晚必须什么时候完成减去它最早可能完成的时间差值就是它能拖的最大天数。试卷里 B 的总时差是 4 天意味着 B 哪怕拖到第 5 天完成最早第 1 天完成加 4 天也不会让整个项目超过 14 天。这个数在项目管理里就是“后悔药”。你知道哪些活动可以缓一缓哪些活动一拖就出事。关键路线上的活动总时差为零没有后悔药可吃非关键活动有一定缓冲资源紧张的时候可以先把人调去关键活动让非关键活动稍微等一等。网络图的价值不在于画得好看而在于它把“哪里能省、哪里不能省”算得明明白白。5. 决策树与运输问题不确定性和物流的两种解法5.1 决策树把“万一”画成树枝试卷计算题第二题是一个典型的风险决策新产品销路好的概率 0.7获利 1200 万销路差的概率 0.3亏损 150 万。可以先建一个小型试验工厂试销试销费用 5 万试销结果会影响后续大批量投产时对销路的判断。题目要求用决策树方法决策。决策树就是把每个决策点和每个自然状态画成树枝从右往左算期望值。先算不试销直接投产的期望利润0.7×1200 0.3×(−150) 840 − 45 795 万。再算试销的情况试销销路好的概率 0.8这种情况下大批量投产销路好的概率变成 0.85试销销路差的概率 0.2这种情况下大批量投产销路好的概率只有 0.1。把每条分支的期望利润算出来减去试销费用 5 万再和 795 万比较哪个大选哪个。决策树的好处是把“不确定性”拆成一层一层的概率分支让直觉上模糊的“要不要先试试”变成一个可以比较的数字。它不保证你选对但保证你的选择逻辑是自洽的。5.2 运输问题表上作业法的适用场景试卷计算题第三题是一个运输问题三个产地 A1、A2、A3四个销地 B1 到 B4产量和销量都给定了单位运价也给了要求用表上作业法求解。运输问题的标准形式是产地有供应量销地有需求量供需平衡每一条运输路线有单位成本目标是总运费最小。表上作业法是手工求解运输问题的经典方法步骤是先用最小元素法或西北角法找一个初始调运方案再用位势法或闭回路法检验是否最优不是最优就调整。试卷只给了题目和表格没有展开求解过程但这类题在运筹学期末卷里几乎必考因为它把线性规划的特殊结构供需平衡的等式约束和手工算法结合得很紧。运输问题和前面线性规划的区别在于它的约束矩阵有特殊的“网络结构”每个变量只出现在一行和一列里。这个结构让它可以不用单纯形法而用更直观的表上作业法。现实里的物流调度、库存调拨底层都是这个模型。6. 什么时候该用运筹学什么时候别硬套运筹学不是万能钥匙。它最擅长的是那些“目标明确、资源可量化、关系近似线性”的问题。比如试卷第一题那种两种产品、两道工序的排产变量少、约束清楚建个线性规划模型几分钟就能把账算明白。第三题的自制外购决策也一样利润数都给好了模型只是帮你做组合优化。这类场景用运筹学属于对症下药。但有些情况硬套模型就会翻车。第一种是目标本身说不清。如果决策者自己都不知道要利润最大还是风险最小或者多个目标互相打架又没法量化权重那模型建出来也是空中楼阁。第二种是关系严重非线性。试卷里的题目全是线性关系消耗按比例走利润也按比例走。现实里很多问题有规模效应、有阈值突变线性假设一崩模型结论就不可信。第三种是数据质量太差。线性规划的对偶价格再漂亮前提是那些成本系数、资源上限是准的。如果基础数据靠拍脑袋模型算得再精也是垃圾进垃圾出。我自己的习惯是每次想上模型之前先拿一张纸把三件事写清楚我要决定的变量到底是什么哪些约束是硬得不能再硬的目标函数能不能用一个数衡量。这三件事写不顺说明问题还没想清楚这时候建模型只是把混乱数学化。反过来这三件事能写顺哪怕不用任何软件手工列个式子也能把方向定个八九不离十。从那以后我每次遇到“资源有限怎么分配”的问题都强制先走一遍这个三件套再决定要不要动真格的模型。希望这个思路帮到你。这份练习试卷的价值不在于它有多少道题而在于它把运筹学最常用的几类建模场景压缩在几页纸里线性规划的资源分配、整数规划的门槛约束、对偶问题的影子价格、网络图的关键路线、决策树的风险分支、运输问题的表上作业。每一类都对应现实里的一类决策。想要把这几类题型从头到尾过一遍这份资料里的题目和解答过程就是现成的参照。本文还有配套的精品资源点击获取 简介这份运筹学期末练习试卷面向高校运筹学课程学习者与备考学生用于系统检验建模与求解能力。试卷涵盖线性规划建模、整数规划建模、名词解释、网络分析与计算题等模块具体涉及A、B产品生产计划建模、汽车厂三种车型的整数规划、织布机生产安排、定性与定量分析辨析、Pert图与CPM关键路径计算、决策树方法及表上作业法求解运输问题并附有对偶问题与互补松弛性的综合题解答。资源包共1个doc文件约1.09MB内容完整、题型典型适合作为期末复习与自测材料。已有571人学习下载读者可借此熟悉运筹学常见题型的建模思路与解题技巧对照答案查漏补缺为应对考试和实际决策问题打下基础。1. 运筹学到底在算什么从一张期末练习卷说起你有没有过这种经历手里一堆资源时间、人手、预算全都有上限却要在几个方案里挑一个最划算的。小到周末怎么安排家务大到工厂怎么排产本质都是同一道题——在限制条件下让某个目标尽可能好。运筹学就是专门研究这类问题的学科它把“怎么选最划算”翻译成数学语言再交给模型去算。这份运筹学期末练习试卷恰好把这门课最核心的几类题型摆在一起建模、名词解释、网络图、计算求解。搞懂它你就搞懂了运筹学在现实里到底怎么用。很多人第一次听到“运筹学”三个字会觉得玄乎像是某种高深算法。其实它更像一套“决策的记账本”把每种选择消耗多少资源、带来多少收益一笔一笔写清楚然后让数学替你找出那本账最漂亮的那一页。试卷里的题目不要求你写代码也不要求你跑软件只要求你把现实问题“翻译”成变量、约束和目标函数。这个翻译过程才是运筹学真正值钱的地方。2. 线性规划把“资源有限”写成不等式2.1 一句话定义与生活类比线性规划是运筹学里最基础、也最常用的一类模型。通俗地说它处理的是这样一件事你有一组决策变量比如生产多少件产品每个变量都消耗若干种资源资源总量有上限而你想让总利润最大或总成本最小。所有关系都是“线性”的——消耗按比例增加利润也按比例增加没有突然翻倍或打折的弯弯绕。打个比方你开一家小作坊做两种点心。每种点心都要用面粉和工时面粉就那么多工时也就那么多你想决定各做多少盒。线性规划就是帮你把“面粉够不够、工时够不够”写成一组不等式再把“卖多少钱”写成一个求和式然后找那个让求和式最大的组合。试卷第一道建模题就是这个套路A、B 两种产品都要经过前道和后道两道化学反应前道总共 200 小时后道总共 240 小时。每生产 1 个单位 B 还会顺带产出 2 个单位副产品 CC 最多能卖 10 个单位卖不掉的要花 1 元销毁。题目只要求建模不要求求解但建模本身已经把线性规划的核心骨架露出来了。2.2 建模的三件套变量、约束、目标线性规划建模永远绕不开三样东西试卷里的解法也是按这个顺序来的。第一是决策变量。你要决定什么就把什么设成变量。第一题设 A、B 的产量为 x1、x2销毁的 C 为 x3。注意 x3 不是“生产量”而是“销毁量”这个区分很关键因为销毁是要花钱的。第二是约束条件。资源上限写成不等式前道 2x1 3x2 ≤ 200后道 3x1 4x2 ≤ 240。副产品 C 的产销平衡也要写成等式或不等式B 产出 2x2 个 C卖出去的最多 10 个剩下的 x3 销毁所以 2x2 销售量 x3且销售量 ≤ 10。这些式子把现实里的“够不够、卖不卖得掉”全部量化了。第三是目标函数。利润 5x1 10x2 3×销售量 − 1×x3。把销售量用 2x2 − x3 替换掉目标函数就只剩 x1、x2、x3 三个变量。到这里一个完整的线性规划模型就立起来了。提示建模题不要求求解但变量设错后面全错。尤其是“销毁量”这种反向变量初学者最容易漏。2.3 第二道建模题整数规划为什么多了一层试卷第二题是汽车厂生产微型、中级、高级三种轿车钢材和人工有总量上限利润各不同。表面看还是线性规划但多了一个条件每种车要达到经济规模才能生产微型车至少 1500 辆中级车至少 1200 辆高级车至少 1000 辆。产量不能是 1499.5 辆必须是整数而且要么不生产要么至少达到门槛。这就是整数规划。它和线性规划的关系好比“可以切半块蛋糕”和“只能整块拿”的区别。线性规划允许变量取小数整数规划要求变量取整数。多出来的这个整数约束让求解难度上一个台阶因为可行解不再是一个连续的区域而是一堆离散的点。试卷只要求建模所以解法里设了 x1、x2、x3 三个产量变量再用 0-1 变量或者大 M 法来处理“要么为零、要么至少门槛”的逻辑。这部分不展开求解但建模思路已经点明了整数规划的核心在普通线性约束之外再加一层“离散选择”的约束。2.4 第三道建模题自制还是外购的取舍第三题更贴近真实生产28 台织布机分 D 型和 R 型要满足四种纺织品的需求可以自己生产也可以直接购买。自己生产有单位可变成本购买有单位购买价售价固定所以每种产品“自己做”和“买来卖”的单位利润不一样。题目解法里直接给出了两组利润数自己生产纺织品 1 到 4 的单位利润分别是 0.33、0.31、0.61、0.73购买对应的单位利润是 0.19、0.16、0.5、0.54。这道题的建模关键是把“机器小时”作为资源约束把“自制量 购买量 需求量”作为平衡约束目标函数则是两组利润分别乘以自制量和购买量再求和。它和第一题的区别在于决策变量分成了两类生产决策和采购决策。现实里很多供应链问题都是这个结构——自己能做就做做不过来就买模型帮你算哪种组合最划算。3. 对偶与敏感性同一个问题的另一面3.1 对偶问题不是“另一个问题”是同一枚硬币的反面试卷名词解释里提到“线性规划的对偶问题”答案说“不唯一可以给出一个具体线性规划和其标准型进行阐述”。这句话听起来绕其实意思很简单每一个线性规划问题都对应着另一个线性规划问题叫做它的对偶问题。原问题求利润最大对偶问题就求资源的最小“影子价格”原问题的约束是资源上限对偶问题的变量就是这些资源的估价。打个比方你有一间铺面原问题是“怎么安排经营让利润最大”对偶问题就是“这间铺面如果租出去最低该收多少租金才不亏”。两个问题的最优值是相等的这就是对偶定理。试卷后面的综合题直接用了这个性质已知原问题最优解利用互补松弛性反推对偶问题最优解。互补松弛性说的是如果某个资源在原问题里没用完那它对偶变量的值就是零如果对偶变量大于零说明这个资源是紧俏的一点都不能浪费。3.2 影子价格资源到底值多少钱对偶变量在运筹学里有个更通俗的名字——影子价格。它不是市场上真实的价格而是“多给你一单位这种资源你的最优利润能增加多少”。试卷第一题里前道工序 200 小时、后道工序 240 小时如果多给 1 小时前道时间利润能涨多少那个数就是前道时间的影子价格。理解影子价格你就理解了对偶问题为什么有用。企业做决策时不光要知道“现在怎么安排最好”还要知道“哪个资源最卡脖子、值不值得花钱去买”。影子价格高的资源就是瓶颈资源多投入它能换来更多利润影子价格为零的资源说明还有富余再买也没用。这个信息比单纯一个最优产量方案更有战略价值。3.3 互补松弛性怎么从原问题推对偶解试卷综合题给了一个线性规划要求先写对偶问题再求对偶最优解。解法里没有重新解一遍对偶问题而是把原问题的最优解代入利用互补松弛性直接推出对偶变量。具体逻辑是原问题某个约束是严格不等式资源没用完对应的对偶变量必为零原问题某个变量大于零对应的对偶约束必取等号。这样一步步推下来对偶最优解就出来了。这个方法在考试里很实用因为重新解一个对偶问题费时费力而互补松弛性相当于给你一条捷径。但前提是你得先把原问题的最优解求对否则后面全盘皆输。这也是运筹学里常见的“血泪经验”对偶技巧再漂亮原问题算错一个数整道题就翻车。4. 网络图与关键路径项目进度的“黑匣子”4.1 网络图是什么把先后关系画出来试卷第三部分是一道作图填空题给了一张活动表A 无紧前活动5 天B 无紧前活动1 天C 紧前是 B2 天D 紧前是 A 和 C4 天E 紧前是 A6 天F 紧前是 D 和 E3 天。要求画网络图、找关键路线、算完工时间、算活动 B 和 E 的可推迟天数。网络图就是把“谁必须在谁之前完成”画成一张有向图。节点代表事件箭线代表活动箭线的方向就是先后顺序。这张图的价值在于它把项目里所有活动的依赖关系一次性摊开让你一眼看出哪些活动串在一起、哪些可以并行。试卷里 A 和 B 可以同时开始C 要等 B 做完D 要等 A 和 C 都做完E 只要等 A 做完F 要等 D 和 E 都做完。画出来之后整个项目的骨架就清楚了。4.2 关键路线决定工期的那个“最长链条”关键路线是从起点到终点耗时最长的那条路径。试卷答案给的是 A-E-F时间 5 6 3 14 天。为什么最长路径反而决定工期因为项目里所有活动都得做完最长的那条链卡在那里其他短链早做完了也得等它。好比一群人约饭最慢的那个人到了才能开席关键路线就是那个最慢的人。关键路线上的活动叫关键活动它们的总时差为零一天都不能拖。试卷填空题里问“活动 E 可以推迟几天而不延误工期”答案就是 0因为 E 在关键路线上。活动 B 可以推迟 4 天因为 B 不在关键路线上它后面接 C 和 DD 又要等 A 和 CB 稍微拖一拖不影响最终 14 天的工期。这个“可以推迟几天”就是活动的总时差是网络分析里最实用的一个数。4.3 总时差项目管理的“后悔药”总时差的计算逻辑是一个活动最晚必须什么时候完成减去它最早可能完成的时间差值就是它能拖的最大天数。试卷里 B 的总时差是 4 天意味着 B 哪怕拖到第 5 天完成最早第 1 天完成加 4 天也不会让整个项目超过 14 天。这个数在项目管理里就是“后悔药”。你知道哪些活动可以缓一缓哪些活动一拖就出事。关键路线上的活动总时差为零没有后悔药可吃非关键活动有一定缓冲资源紧张的时候可以先把人调去关键活动让非关键活动稍微等一等。网络图的价值不在于画得好看而在于它把“哪里能省、哪里不能省”算得明明白白。5. 决策树与运输问题不确定性和物流的两种解法5.1 决策树把“万一”画成树枝试卷计算题第二题是一个典型的风险决策新产品销路好的概率 0.7获利 1200 万销路差的概率 0.3亏损 150 万。可以先建一个小型试验工厂试销试销费用 5 万试销结果会影响后续大批量投产时对销路的判断。题目要求用决策树方法决策。决策树就是把每个决策点和每个自然状态画成树枝从右往左算期望值。先算不试销直接投产的期望利润0.7×1200 0.3×(−150) 840 − 45 795 万。再算试销的情况试销销路好的概率 0.8这种情况下大批量投产销路好的概率变成 0.85试销销路差的概率 0.2这种情况下大批量投产销路好的概率只有 0.1。把每条分支的期望利润算出来减去试销费用 5 万再和 795 万比较哪个大选哪个。决策树的好处是把“不确定性”拆成一层一层的概率分支让直觉上模糊的“要不要先试试”变成一个可以比较的数字。它不保证你选对但保证你的选择逻辑是自洽的。5.2 运输问题表上作业法的适用场景试卷计算题第三题是一个运输问题三个产地 A1、A2、A3四个销地 B1 到 B4产量和销量都给定了单位运价也给了要求用表上作业法求解。运输问题的标准形式是产地有供应量销地有需求量供需平衡每一条运输路线有单位成本目标是总运费最小。表上作业法是手工求解运输问题的经典方法步骤是先用最小元素法或西北角法找一个初始调运方案再用位势法或闭回路法检验是否最优不是最优就调整。试卷只给了题目和表格没有展开求解过程但这类题在运筹学期末卷里几乎必考因为它把线性规划的特殊结构供需平衡的等式约束和手工算法结合得很紧。运输问题和前面线性规划的区别在于它的约束矩阵有特殊的“网络结构”每个变量只出现在一行和一列里。这个结构让它可以不用单纯形法而用更直观的表上作业法。现实里的物流调度、库存调拨底层都是这个模型。6. 什么时候该用运筹学什么时候别硬套运筹学不是万能钥匙。它最擅长的是那些“目标明确、资源可量化、关系近似线性”的问题。比如试卷第一题那种两种产品、两道工序的排产变量少、约束清楚建个线性规划模型几分钟就能把账算明白。第三题的自制外购决策也一样利润数都给好了模型只是帮你做组合优化。这类场景用运筹学属于对症下药。但有些情况硬套模型就会翻车。第一种是目标本身说不清。如果决策者自己都不知道要利润最大还是风险最小或者多个目标互相打架又没法量化权重那模型建出来也是空中楼阁。第二种是关系严重非线性。试卷里的题目全是线性关系消耗按比例走利润也按比例走。现实里很多问题有规模效应、有阈值突变线性假设一崩模型结论就不可信。第三种是数据质量太差。线性规划的对偶价格再漂亮前提是那些成本系数、资源上限是准的。如果基础数据靠拍脑袋模型算得再精也是垃圾进垃圾出。我自己的习惯是每次想上模型之前先拿一张纸把三件事写清楚我要决定的变量到底是什么哪些约束是硬得不能再硬的目标函数能不能用一个数衡量。这三件事写不顺说明问题还没想清楚这时候建模型只是把混乱数学化。反过来这三件事能写顺哪怕不用任何软件手工列个式子也能把方向定个八九不离十。从那以后我每次遇到“资源有限怎么分配”的问题都强制先走一遍这个三件套再决定要不要动真格的模型。希望这个思路帮到你。这份练习试卷的价值不在于它有多少道题而在于它把运筹学最常用的几类建模场景压缩在几页纸里线性规划的资源分配、整数规划的门槛约束、对偶问题的影子价格、网络图的关键路线、决策树的风险分支、运输问题的表上作业。每一类都对应现实里的一类决策。想要把这几类题型从头到尾过一遍这份资料里的题目和解答过程就是现成的参照。本文还有配套的精品资源点击获取